适用于快速、频繁地计算一个索引区间内的元素之和

前缀和算法框架

一维

每次累加前缀，当前元素指的是0-i的前缀和

注：从1开始是为了避免边界另外讨论，sum_list大小为原数组大小+1。填充的边界为0

对于连续子序列问题，可以使用滑动窗口。例如按要求得到最长/短的序列

滑动窗口算法框架

int low = 0, high = 0;

while (high < nums.size()) {
    // 增大窗口
    window.addLast(nums[high]);
    high++;
    
    while (window needs shrink) {
        // 缩小窗口
        window.removeFirst(nums[low]);
        low++;
    }
}

滑动窗口方法需要考虑两个问题

1. 何时满足题目条件

符合最优子结构的问题适合用动态规划

最优子结构 是指一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解构造出来。换句话说，问题的最优解依赖于子问题的最优解。

例如要计算年级的最高分，可通过计算每个班级的最高分之后取最值得到

动态规划算法框架

确定状态和选择

明确当前值需要通过哪些子结构通过哪些选择得到，用以确定dp数组是一维还是二维的

邻接表

vector<vector<int>> build_tree_with_table(int node_count,vector<vector<int>> prerequisites)
{
    vector<vector<int>> graph(node_count);
    for (int i=0;i<prerequisites.size();i++)
        graph[prerequisites[i][0]].push_back(prerequisites[i][1]);
    return graph;
}

邻接矩阵

vector<vector<int>> build_tree_with_martix(int node_count,vector<vector<int>> prerequisites)
{
    vector<vector<int>> graph(node_count,vector<int>(node_count,0));
    for (int i=0;i<prerequisites.size();i++)
        graph[prerequisites[i][0]][prerequisites[i][1]] = 1;
    return graph;
}

图的遍历（获取所有路径）

DFS

使用on_path判断当前访问的结点是否在当前访问列表中，如果在则表示有环

vector<vector<int>> path_lists;
vector<int> path;
vector<bool> on_path;
void traverse_dfs(vector<vector<int>> graph,int start)
{
if (src < 0 || src >= graph.size()) return;
    if (on_path[start] == true)
        return;
    path.push_back(start);
    on_path[start] = true;
    path_lists.push_back(path);
    
    for (int i=0;i<graph[start].size();i++)
        traverse_dfs(graph, graph[start][i]);
    path.pop_back();
    on_path[start] = false;
}

判断图是否有环

DFS

使用图的遍历DFS算法，if (on_path[start] == true)时给has_circle赋True

另外，使用了is_visited_list。假设现在以节点 2 为起点遍历所有可达的路径，最终发现没有环。

回溯算法求解时要考虑三个问题

1. 路径：已经做出的选择
2. 选择列表：当前可以做的选择，即孩子结点的情况（剪枝做的就是精简孩子结点，避免重复讨论，反映到代码里就是对于某些情况直接continue调过）
3. 结束条件：何时到达决策树的底层，返回结果

求解的关键在于画出决策树，并运用合理的剪枝条件。不要跳出此框架自己去想新写法，很容易漏解或者多解

二叉树题型的算法主要分为回溯，动态规划，迭代三类。从本质上三者都是在遍历算法基础上的修改。回溯关心的是在每个结点的访问过程中如何更新结果；动态规划关心的是如何拆解出子问题，不具体分析每个结点的状态，而是通过划分子问题让其通过基本问题递归解决；迭代主要是指BFS层序遍历，适用于与深度（或高度）相关的问题求解

二叉树基本结构

1. 二叉树

1. 确定问题：给当前的算法一个符合计算机处理流程的解释。例如对于斐波那契数数列求解int fib(int n)，应该翻译成计算数列第n项并返回数列的值