0%

前缀和

什么问题适合用前缀和

适用于快速、频繁地计算一个索引区间内的元素之和

前缀和算法框架

一维

每次累加前缀,当前元素指的是0-i的前缀和

注:从1开始是为了避免边界另外讨论,sum_list大小为原数组大小+1。填充的边界为0

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for (int i = 1; i < sum_list.size(); i++) {
sum_list[i] = sum_list[i - 1] + sum_list[i - 1];
}

二维

当前元素表示的是0-i,0-j范围内的前缀和

注:从1开始是为了避免边界另外讨论,sum_list长宽为原矩阵大小+1。填充的边界为0

1
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for (int i=1; i < sum_list.size(); i++) 
for (int j=1; j < sum_list[0].size(); j++)
// 左 + 上 - 左上(因为左上重复记了两次)
sum_list[i][j] = sum_list[i-1][j]+sum_list[i][j-1]-sum_list[i-1][j-1];

二维区域和检索 - 矩阵不可变

题目

给定一个二维矩阵 matrix,以下类型的多个请求:

  • 计算其子矩形范围内元素的总和,该子矩阵的 左上角(row1, col1)右下角(row2, col2)

实现 NumMatrix 类:

  • NumMatrix(int[][] matrix) 给定整数矩阵 matrix 进行初始化
  • int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) 返回 左上角 (row1, col1)右下角 (row2, col2) 所描述的子矩阵的元素 总和

输入:
[“NumMatrix”,”sumRegion”,”sumRegion”,”sumRegion”]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出:
[null, 8, 11, 12]

解释:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)

解析

先计算出二维的前缀和,之后计算出指定区域的和

核心代码

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// 计算二维矩阵前缀和
// ...
int sumRegion(int x1, int y1, int x2, int y2) {
// 原 - 上 - 左 + 左上(因为左上重复记了两次)
return sum_list[x2+1][y2+1] - sum_list[x1][y2+1] - sum_list[x2+1][y1] + sum_list[x1][y1];
}

矩形个数

题目

在一个由 0、1 元素构成矩阵中,统计至少含有 𝑘个 1 的矩形的个数(矩形边界平行于矩阵边界)。
注意:单个元素也算是一个矩形。

输入格式

第一行,有四个空格分隔的整数,𝑟,𝑐,𝑛,𝑘 ( 1≤𝑟,𝑐,𝑛≤500,1≤𝑘≤𝑛 ) 分别表示矩阵的行数,列数,矩阵中 1 的个数,和题意中给出的 𝑘。

接下来 𝑛 行,每行两个空格分隔的整数 𝑥 和 𝑦,表示每个 1 所在的位置 ( 1≤𝑥𝑖≤𝑟,1≤𝑦𝑖≤𝑐)

输出格式

输出1行1个数字,表示矩形的个数。

解析

先计算出二维矩阵的前缀和,之后遍历所有的区域范围,如果满足要求则相加

核心代码

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int get_count(int k, vector<vector<int>> &matrix)
{
int result = 0;
vector<vector<int>> sums_list(matrix.size() + 1, vector<int>(matrix[0].size() + 1, 0));
for (int i = 1; i < matrix.size() + 1; i++)
{
for (int j = 1; j < matrix[0].size() + 1; j++)
{
sums_list[i][j] = sums_list[i - 1][j] + sums_list[i][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1] - sums_list[i - 1][j - 1];
}
}

for (int x1 = 1; x1 < matrix.size() + 1; x1++)
{
for (int x2 = x1; x2 < matrix.size() + 1; x2++)
{
for (int y1 = 1; y1 < matrix[0].size() + 1; y1++)
{
for (int y2 = y1; y2 < matrix[0].size() + 1; y2++)
{
int sum = sums_list[x2][y2] - sums_list[x1 - 1][y2] - sums_list[x2][y1 - 1] + sums_list[x1 - 1][y1 - 1];
if (sum >= k)
result++;
}
}
}
}

return result;
}